Piccoli dialoghi matematici

»Qual è il concetto più grande di infinito?

¬ Cosa intendi per infinito?
» Non so, l’infinito … una cosa infinitamente grande.
¬ Ah, ho capito. Una cosa che non è finita, e quindi che se si prova a contarla non si finisce mai di contare. È così?
» Sì, forse. In realtà non penso di riuscire a finire di contare i granelli di sabbia in una spiaggia, ma questo mi sembra comunque sia un numero finito, anche se enorme.
¬ È vero, i granelli di sabbia sono comunque un insieme finito. Mi fai quindi un esempio di infinito, giusto per capirsi?
» Ma non ero io a fare domande? Non so, l'infinito è tutto ciò che non è finito. Ma non mi vengono in mente esempi…
¬ Se non mi fai un esempio non riesco a capire. Non riesci?
» Ecco, l’insieme di tutti i numeri. Questo non è finito, perché se si conta si continua a contare per sempre. Ecco, una quantità infinita è una quantità che a provare a contarla si va avanti sempre, senza mai finire.
¬ Quindi per te l’infinito è il non-finito, nel senso che è qualcosa che non ha un certo numero di elementi, ho capito bene?
» Direi di sì, non è questo il significato di infinito?
¬ Eh, dipende. Tutto è relativo. Contare non è l’unico modo di misurare la grandezza di un insieme. Per esempio, un segmento lungo 1 cm è finito o infinito?
» Mah, mi sembra chiaro che sia finito. Se posso misurarlo allora è finito, e la sua misura è 1 cm.
¬ Ma prova a contare i punti che stanno in un segmento: se per assurdo fossero finiti, allora dato un punto A del segmento ci sarebbe solo un insieme finito di punti a destra di A diversi da A, e quindi tra questi ce ne sarebbe uno, chiamiamolo B, che è il più vicino ad A tra questi: tra A e B non ci possono quindi essere altri punti, ma questo è assurdo perché per esempio il punto medio del segmento AB sta tra A e B! Non sei quindi d’accordo che sono infiniti i punti di un segmento?
» Sì, mi sembra abbastanza convincente. Allora ogni segmento è infinito.
¬ Però come la mettiamo con la lunghezza del segmento? Non è mica infinita…
» È vero… Quindi un segmento può essere sia finito che infinito…
¬ Vedi che bisogna precisare bene cosa significa infinito? E anche cosa significa misurare… Tra l’altro, a parte il numero di punti, non ti viene in mente un esempio di un segmento infinito, con lunghezza infinita?
» Beh, sì, la retta! Mi sembra evidente che la sua lunghezza non è finita.
¬ E quale pensi possa essere la sua area?
» L’area di una retta… Ma io so calcolare l’area dei triangoli o delle figure, non delle rette.
¬ Hai ragione. Ma se dovessi calcolarne l’area, quanto pensi farebbe? Quanto pensi sia l’area di un segmento?
» Beh, piccola, se il segmento è disegnato con una penna con uno spessore molto fine!
¬ Sì ma stiamo parlando di segmenti ideali, cioè di un segmenti con spessore zero.
» Allora la sua area è zero.
¬ E quindi quanto pensi possa essere l’area di una retta, che è lunga infinito e ha infiniti punti?
» Inizio a capire, forse: la sua area è zero! Ha infiniti punti, ha lunghezza infinita, ma ha area zero.
¬ Bene. Ora, secondo te è più grande il numero di punti della retta (infinito) oppure la sua lunghezza (infinita)?
» No, ora sono confuso. Non saprei dare una risposta; mi sembra che non si possano confrontare.
¬ Giusto. Quando pensi che due quantità possano confrontarsi? Cioè, quando è possibile rispondere alla domanda se una è più grande dell’altra?
» Non saprei rispondere in generale. Di certo se sono entrambi numeri interi o non interi, lo si può fare. Due lunghezze, anche. L’infinito mi sembra più grande di qualsiasi numero, e quindi si può confrontare l’infinito con un numero. Ma confrontare due infiniti… come è possibile che non si possa fare?
¬ Non ho detto che non si può fare, ho solo detto che occorre capire cosa intendi per infinito e cosa intendi per confrontare. Ne abbiamo già visti tre (numero di elementi, lunghezza e area), e per ognuno di essi potrebbe esserci una risposta diversa… Rimaniamo al contare, cioè alle quantità. Mi hai detto che l’insieme dei numeri interi è infinito. Cosa mi dici dell’insieme dei numeri pari?
» Anche questo è infinito: a contare i numeri pari non si può mai finire!
¬ E sono di più i numeri interi o i numeri pari?
» Mi sembra chiaro che sono di più i numeri interi: quelli pari sono la metà degli interi!
¬ Quindi la metà di infinito è una quantità più piccola di infinito? Giusto?
» Sì, appunto.
¬ Però per ogni numero pari, la sua metà è un numero intero, e tutti i numeri interi sono la metà di un numero pari: non pensi che quindi i numeri pari e i numeri interi siano esattamente lo stessa quantità?
» Forse. Quindi anche due infiniti diversi possono essere uguali?
¬ Sì, è un po' paradossale, ma è così. Adesso riesci a descrivermi in che senso vuoi il concetto più grande di infinito?
» Intendevo il numero che è più grande di qualsiasi altro infinito, sempre ammesso che sia possibile confrontare due infiniti diversi, però…
¬ Vedi difficoltà ovunque, adesso, vero?
» Rimpiango di averti fatto la domanda. Invece che chiarirmi le idee ed avere una risposta, ho le idee ancora più confuse.
¬ Ma cosa ti fa pensare che ogni domanda abbia una risposta semplice e comprensibile?
» Con google e su internet è così! E anche a scuola le risposte sono grosso modo semplici e comprensibili… E gli altri hanno sempre cercato di darmi risposte semplici e comprensibili alle mie domande. Anche su youtube… Fino ad ora almeno… :-(
¬ Non pensi che è perché i programmi di scuola sono costruiti apposta per dare risposte a certe domande, e non per stimolare domande cui non sarebbe possibile dare risposte? O perché su internet le risposte sono semplici ma parziali, o sbagliate?
» Non lo so.
¬ Vuoi davvero trovare il concetto più grande di infinito?
» Beh, ora non lo so più. Sono quasi sfinito dai tuoi ragionamenti…
¬ Fai ancora un piccolo sforzo. Vedrai che ne vale la pena. Abbiamo già visto che l’insieme di tutti i numeri è un insieme infinito. Ora, per costruire l’insieme con l’infinito più grande di tutti gli infiniti possibili, consideriamo l’insieme U, che è l’unione di tutti gli insiemi possibili. Cioè, U contiene tutto ciò che esiste, e che non esiste, tutto ciò che è stato pensato e anche ciò che non è stato pensato. Insomma, U è l’insieme che è unione di tutti gli insiemi possibili, definibili e no. Ecco, U è l’infinito più grande possibile, no?
» Sì, è quasi inimmaginabile quanto sia grande… ma per come è definito è chiaro che è più grande di ogni qualsiasi insieme di qualsiasi natura. Più grande dell’insieme dei numeri, ma anche più grande dell’insieme di tutti gli insiemi finiti di numeri, o dell’insieme di tutti gli insiemi infiniti di numeri, o dell’insieme di tutti i granelli di sabbia, …
¬ Ma per te U è un insieme?
» Certo! Non l’hai definito tu come l’insieme che contiene tutti gli elementi di tutti gli insiemi possibili? Non hai usato tu la parola insieme…?
¬ Sì, è vero. Eh, qui occorrerebbe chiarire un po' cosa intendiamo per insieme. Speriamo che per noi significhi la stessa cosa… Ma non è che sia così importante, per adesso. Considera ora il seguente insieme: l’insieme P formato da tutti gli insieme che non contengono sé stessi come elemento. Ti sembra che esista?
» Sì. Per esempio l’insieme dei numeri pari non contiene sé stesso come elemento. Anzi, ora che mi ci fai pensare, mi sembra che non possano esistere insiemi che contengono sé stessi come elemento.
¬ Davvero? Ma non avevi detto che U è un insieme?
» Beh, e allora?
¬ Se U contiene ogni insieme, e U è un insieme, allora U contiene sé stesso come elemento… Concordi?
» Sì, sono d’accordo. È giusto, in effetti…
¬ Ora, U è un elemento di sé stesso. E P, lui è un elemento di sé stesso?
» Fammici pensare… Gli elementi di P sono gli insiemi che non sono elementi di sé stessi… di fatto… quindi se P fosse elemento di sé stesso allora dovrebbe non essere elemento di sé stesso. Quindi no, la risposta è che P non è elemento di sé stesso, cioè non contiene sé stesso come elemento.
¬ Ma scusa, mi hai appena detto che P non contiene sé stesso come elemento, giusto?
» Sì, e allora?
¬ Ma questo non vuol dire che P è un elemento di P, dato che gli elementi di P sono gli insiemi che non contengono sé stessi?
» Mmmh, direi di sì.
¬ Ma allora P è elemento di sé stesso, ma anche P non è elemento di sé stesso. Non ti pare una contraddizione?
» Mi hai fatto venire mal di testa. Mi sono perso.
¬ Siamo arrivati ad un paradosso, per colpa della tua domanda! Si chiama Paradosso di Russell, ed è la conseguenza di aver provato a dare la risposta alla tua domanda. Capisci perché bisogna scegliere bene le domande? Certe domande portano molto lontano…
» Ma allora qual è il concetto più grande di infinito?
¬ La risposta è: non esiste, non c’è. Non può esserci, perché se per assurdo ci fosse, sarebbe U, che però non può esistere.

»Quanto è la radice quadrata di infinito?

¬ Prima mi hai spiegato cosa intendi per infinito, e abbiamo capito che paradossi e incomprensioni sono dietro l’angolo. Ora però mi devi spiegare una cosa cosa: cosa intendi per radice quadrata?
» Beh, la radice quadrata di un numero è quel numero che elevato al quadrato dà il primo numero.
¬ Perfetto. Ma che cosa è il quadrato di infinito, allora? Mi sembra chiaro che nessun numero al quadrato fa infinito, quindi solo l’infinito, ammesso che si possa definire la radice quadrata e il quadrato di infinito, potrebbe avere quadrato uguale all’infinito. Cosa è quindi il quadrato di infinito?
» Boh, come per i numeri è il numero moltiplicato per sé stesso.
¬ E come moltiplichi l’infinito? Per un numero? Per un altro infinito?
» Non saprei. Tipo prendendo un insieme formato da infinite copie di un insieme infinito: non è questo il prodotto di infiniti?
¬ Bene! Questo è prodotto di infiniti. E quanti elementi ha?
» Mi sembra infiniti.
¬ Ok, quindi infinito per infinito è uguale a infinito. Giusto?
» Sì, mi pare giusto.
¬ E quindi la radice quadrata di infinito, che è quella quantità che al quadrato dà infinito, è infinito, dato che infinito per infinito è uguale a infinito. Giusto?
» Sì, ma dove è l’inghippo?
¬ Nessun inghippo. Abbiamo definito la radice quadrata di infinito, e osservato che è uguale a infinito, a patto di definire il prodotto di infinito per infinito uguale a infinito. Ma siamo sicuri che non emergono altri paradossi?
» Appunto. Proprio i paradossi temevo…
¬ Infatti. Il problema è: e se trovassi un altro infinito che al quadrato fa infinito?
» In che senso?
¬ Pensa a -infinito, l’infinito negativo. Qual è il suo quadrato?
» Non capisco cosa sia l’infinito negativo, ma mi adeguo. Meno per meno fa più: il suo quadrato è infinito. Quindi anche -infinito è radice quadrata di infinito…
¬ Ti sembra strano che ce ne siano due, di radici quadrate? Quali sono le radici quadrate di 4?
» Questa la sanno tutti: più 2 e meno 2.
¬ E quindi ti sembra strano che ci siano più infinito e meno infinito, ma non che ci siano più due e meno due?
» Beh, assai. Già un infinito mi dava problemi, ora gli infiniti col segno…
¬ Purtroppo anche qua, si cammina su ghiaccio sottile. Non sono domande con una risposta semplice.
» Ma io voglio una risposta facile da capire, breve e sintetica! Non voglio mettermi a dialogare senza fine ogni volta! Quanto fa la radice quadrata di infinito?
¬ Va bene. La risposta breve è: infinito. Tranne quando non è infinito, dato che non abbiamo definito bene le operazioni e il segno degli infiniti.
» Come al solito non mi hai aiutato granché.
¬ Non c’è di che.